A.
PEMROGRAMAN LINIER
Pemrograman Linier disingkat
PL merupakan metode matematik dalam
mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti
memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri,
militer, social dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam
dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi
tujuan linier dengan beberapa kendala linier.
Formulasi Permasalahan
Urutan
pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan
pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem
dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, variabel
keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan
keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan
tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah.
Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen
yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan
pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.
Pembentukan model matematik
Tahap
berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah
membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset
operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan
inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik.
Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang
membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari
dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan
selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita
ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik.
Bagian
kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang
membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤
atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik
sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan
dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa
keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu
keuntungan yang paling jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan
secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan
permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab
akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan
permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya
secara simultan.
Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut :
Fungsi
tujuan :
Maksimumkan
atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 +
... + cnxn
Sumber daya yang membatasi :
a11x1
+ a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1
a21x1
+ a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2
…
am1x1
+ am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm
x1,
x2, …, xn ≥ 0
Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel
keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung
dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn
merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut
juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11,
...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel
keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien
fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm
menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala
akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap
kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun
fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau
minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Harus
hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan
koefisien pada fungsi pembatas.
Contoh Kasus yang diselesaikan
- Seorang pengrajin menghasilkan satu tipe meja dan satu tipe kursi. Proses yang dikerjakan hanya merakit meja dan kursi. Dibutuhkan waktu 2 jam untuk merakit 1 unit meja dan 30 menit untuk merakit 1 unit kursi. Perakitan dilakukan oleh 4 orang karyawan dengan waktu kerja @8 jam perhari. Pelanggan pada umumnya membeli paling banyak 4 kursi untuk 1 meja. Oleh karena itu pengrajin harus memproduksi kursi paling banyak empat kali jumlah meja. Harga jual per unit meja adalah Rp 1,2 juta dan per unit kursi adalah Rp 500 ribu.
Bagaimanakah formulasi dari kasus tersebut untuk
mengetahui berapa unit masing-masing meja dan kursi yang harus dibuat agar
diperoleh keuntungan yang maksimum?
Solusi :
Hal pertama yang harus
dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, variabel keputusan dan sumber daya
yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang
ingin dicapai adalah memaksimumkan
pendapatan. Variabel keputusan adalah jumlah
meja dan kursi yang akan diproduksi. Sumber daya yang membatasi adalah waktu
kerja karyawan dan perbandingan jumlah kursi dan meja yang harus
diproduksi (pangsa pasar ).
Informasi di atas tidak
menunjukkan adanya pemberian diskon, sehingga harga jual per meja maupun kursi
akan sama meskipun jumlah yang dibeli semakin banyak. Hal ini mengisyaratkan
bahwa total pendapatan yang diperoleh
pengrajin proposional terhadap jumlah produk yang terjual. Penggunaan sumber
daya yang membatasi , dalam hal ini waktu kerja karyawan dan pangsa pasar juga
proporsional terhadap jumlah meja dan kursi yang diproduksi. Total pendapatan
pengrajin merupakan jumlah pendapatan dari keseluruhan meja dan kursi yang
terjual. Penggunaan sumber daya ( waktu kerja karyawan dan pangsa pasar)
merupakan penjumlahan waktu yang digunakan untuk memproduksi meja dan kursi.
Ada dua variabel keputusan dan
dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan maksimisasi, karena
semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh pengrajin. Fungsi kendala
pertama (batasan waktu) menggunakan pertidaksamaan ≤, karena waktu yang
tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau tidak, tapi tidak mungkin melebihi
waktu yang ada. Fungsi kendala yang kedua bisa menggunakan ≤ atau ≥ tergantung
dari pendefinisian variabelnya.
Kita definisikan :
x1 = jumlah meja yang akan diproduksi
x2 = jumlah kursi yang akan diproduksi
Model umum Pemrograman Linier kasus di atas adalah
:
Fungsi tujuan :
Maksimumkan z = 1.2 x1 + 0.5 x2
Kendala :
2x1 + 0.5 x2 ≤ 32
x1/x2 ≥ ¼ atau 4x1≥
x2 atau 4x1 – x2 ≥ 0
x1 , x2 ≥ 0
- Seorang peternak memiliki 200 kambing yang mengkonsumsi 90 kg pakan khusus setiap harinya. Pakan tersebut disiapkan menggunakan campuran jagung dan bungkil kedelai dengan komposisi sebagai berikut :
Bahan
|
Kg per
kg bahan
|
|||
Kalsium
|
Protein
|
Serat
|
Biaya
(Rp/kg)
|
|
Jagung
|
0.001
|
0.09
|
0.02
|
2000
|
Bungkil
kedelai
|
0.002
|
0.60
|
0.06
|
5500
|
Kebutuhan pakan kambing setiap harinya adalah
paling banyak 1% kalsium, paling sedikit 30% protein dan paling banyak 5%
serat.
Formulasikan permasalahan di atas kedalam model matematiknya !
Solusi
:
Hal pertama
yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan , variabel keputusan dan
sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal,
tujuan yang ingin dicapai adalah meminimumkan
biaya pembelian bahan pakan. Variabel keputusan adalah jumlah jagung dan bungkil kedelai yang akan digunakan. Sumber daya
yang membatasi adalah kandungan kalsium,
protein dan serat pada jagung dan
bungkil kedelai, serta kebutuhan jumlah pakan per hari.
Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian
diskon, sehingga harga pembelian jagung dan bungkil kedelai per kg tidak
berbeda meskipun pembelian dalam jumlah besar. Hal ini mengisyaratkan bahwa
total biaya yang harus dikeluarkan peternak proporsional terhadap jumlah jagung dan bungkil kedelai yang dibeli. Penggunaan
sumber daya yang membatasi, dalam hal ini komposisi jagung dan bungkil kedelai
akan serat, protein dan kalsium proporsional terhadap jumlah jagung dan bungkil.
Total pengeluaran pembelian bahan pakan
merupakan penjumlahan pengeluaran
untuk jagung dan bungkil kedelai. Jumlah
masing-masing serat, protein dan kalsium yang ada di pakan khusus merupakan penjumlah serat, protein dan
kalsium yang ada pada jagung dan bungkil kedelai. Jumlah pakan khusus yang
dihasilkan merupakan penjumlahan jagung dan bungkil kedelai yang
digunakan.
Ada dua variabel keputusan dan empat sumber daya
yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan minimisasi,
karena semakin kecil biaya akan semakin disukai oleh peternak. Fungsi kendala
pertama (batasan jumlah pakan yang dibutuhkan per hari) menggunakan persamaan
(=), fungsi kendala kedua (kebutuhan kalsium) dan kendala keempat (kebutuhan
serat) menggunakan pertidaksamaan ≤, dan fungsi kendala ketiga (kebutuhan akan
protein) menggunakan pertidaksamaan ≥.
Kita definisikan :
x1 = jumlah jagung yang akan digunakan
x2 = jumlah bungkil kedelai yang akan
digunakan
Model umum
Pemrograman linier kasus di atas oleh karenanya adalah :
Fungsi tujuan : minimumkan z = 2000 x1 +
5500 x2
Kendala :
x1 + x2 = 90
0.001 x1
+ 0.002 x2 ≤ 0.9
0.09 x1
+ 0.6 x2 ≥ 27
0.02 x1
+ 0.06 x2 ≤ 4.5
x1, x2
≥ 0
Rangkuman
Tahapan dalam penyelesaian optimasi dari Linear programming ini
adalah sebagai berikut :
- Menentukan decision of variables
- Membuat objective function
- Memformulasikan constraints
- Menggambarkan dalam bentuk grafik
- Menentukan daerah kemungkinan/ "feasible"
- Menentukan solusi optimum.
Referensi
1. Nanang, H.,
(1999). Integral Program Linier Matriks Vektor Transformasi Barisan Dan Deret
2. Siringoringo, H., (2005) Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linear. Penerbit Graha
Ilmu. Yogyakarta.
0 comments:
Post a Comment