1.1.
Sub Kompetensi
Kemampuan yang akan dimiliki
oleh mahasiswa setelah memahami isi modul ini adalah sebagai berikut :
-
Mahasiswa mampu menggunakan grafik.
1.2.
Uraian Materi
Metode grafik hanya bisa digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk
menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan
adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming
(LP). Langkah-langkah dalam formulasi
permasalahan adalah :
1. Pahamilah secara menyeluruh permasalahan yang
dihadapi
2. Identifikasikan tujuan dan kendalanya
3. Definisikan variabel keputusannya
4. Gunakan variabel keputusan untuk merumuskan
fungsi tujuan dan fungsi kendala secara matematis
a.
Fungsi
Tujuan Maksimasi
Contoh
:
Perusahaan
Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh
dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit
kursi adalah $5,-.
Namun untuk meraih keuntungan tersebut Krisna
Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit
meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3
jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk
pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia
untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam
kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi
yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?
Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa
tujuan perusahaan adalah memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan
tersebut adalah terbatasnya waktu yang tersedia untuk pembuatan dan pengecatan. Apabila permasalahan tersebut
diringkas dalam satu tabel akan tampak sebagai berikut:
|
|
Jam kerja untuk membuat 1 unit produk
|
Total waktu tersedia
per minggu
|
|
|
|
Meja
|
Kursi
|
|
|
Pembuatan
|
4
|
2
|
240
|
|
Pengecatan
|
2
|
1
|
100
|
|
Profit per Unit
|
7
|
5
|
|
Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan
kursi, maka dalam rangka memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan
berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam
kasus ini, yang merupakan variabel keputusan adalah meja (X1) dan kursi (X2).
1.
Fungsi
Tujuan
Profit = ($ 7 x jml meja yang diproduksi) + ($ 5 x jml kursi
yang diproduksi)
Secara matematis dapat ditulis :
Maksimisasi : Z = 7 X1
+ 5 X2
2.
Fungsi
Kendala
·
Kendala
: Waktu pembuatan
1 unit meja
memerlukan 4 jam untuk pembuatan -> 4 X1
1 unit kursi
memerlukan 3 jam untuk pembuatan ->
3 X2
Total waktu
yang tersedia per minggu untuk pembuatan ->
240 Jam
Dirumuskan
dalam pertidaksamaan matematis ->
4 X1 + 3 X2
£ 240
·
Kendala
: Waktu pengecatan
1 unit meja
memerlukan 2 jam untuk pengecatan -> 2 X1
1 unit kursi
memerlukan 1 jam untuk pengecatan ->
1 X2
Total waktu
yang tersedia per minggu untuk pengecatan ->
100 Jam
Dirumuskan
dalam pertidaksamaan matematis ->
2 X1 + X2 £ 100
Formulasi
masalah secara lengkap :
Fungsi Tujuan :
Maks. Z = 7 X1 + 5 X2
Fungsi Kendala : 4
X1 + 3 X2 £ 240
2
X1 + X2 £ 100
X1 , X2 ³ 0 (kendala
non-negatif)
Setelah
formulasi lengkapnya dibuat, maka Kasus Krisna
Furniture tersebut akan diselesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan metode
grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu koordinat, sehingga tidak bisa
digunakan untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan.
Langkah pertama dalam penyelesaian dengan
metode grafik adalah menggambarkan fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan
kendala pertama secara grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi
tanda persamaan seperti berikut.
4 X1 + 3 X2 = 240
Untuk menggambarkan fungsi linear, maka cari
titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah
satu sumbu apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian
kendala pertama akan memotong X1, pada saat X2 = 0,
demikian juga kendala ini akan memotong X2, pada saat X1
= 0.
Kendala
I :
4 X1
+ 3 X2 = 240
memotong sumbu X1 pada saat X2
= 0
4 X1 + 0 = 240
X1 = 240 / 4
X1 = 60.
memotong sumbu X2 pada saat X1
= 0
0 + 3 X2 = 240
X2 = 240/3
X2 = 80
Kendala I memotong sumbu X1 pada
titik (60, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 80).
Kendala
II :
2 X1 + 1 X2 = 100
memotong sumbu X1 pada saat X2
= 0
2 X1 + 0 = 100
X1 = 100/2
X1 = 50
memotong sumbu X2 pada saat X1
=0
0 + X2 = 100
X2 = 100
Kendala I memotong sumbu X1 pada
titik (50, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 100).
Titik
potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi
2 X1 + 1 X2 = 100 -> X2 = 100 - 2 X1
4 X1 + 3 X2 = 240 X2 = 100 - 2 X1
4 X1 + 3 (100
- 2 X1) = 240 X2 = 100 - 2 * 30
4 X1 + 300 -
6 X1 = 240 X2 = 100 - 60
- 2 X1 = 240
- 300 X2 = 40
- 2 X1 = - 60
X1 = -60/-2 = 30.
Sehingga kedua
kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40).
Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah
kiri dari garis kendala. Feasible region (area layak)
meliputi daerah sebelah kiri dari titik A (0; 80), B (30; 40), dan C (60; 0).
Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang
bisa digunakan yaitu
1.
dengan menggunakan garis profit (iso profit line)
2.
dengan titik sudut (corner point)
Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah
penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan
tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol,
tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan
garis profit, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi
oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka
7 (koefisien X1) dan 5 (koefisien X2) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan
menjadi 35 = 7 X1 + 5 X2. Garis ini akan memotong sumbu X1 pada titik (5, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 7).
Iso profit line menyinggung titik B yang merupakan titik
terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui
berapa nilai X1 dan X2, serta nilai Z pada titik B tersebut,
kita mencari titik potong antara kendala I dan kendala II (karena titik B
merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala II). Dengan menggunakan
eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai X1
= 30, X2 = 40. dan Z = 410. Dari
hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan
yang akan memberikan profit maksimal adalah memproduksi X1 sebanyak 30 unit, X2
sebanyak 40 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410.
Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut
(corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang
berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat dilihat bahwa
ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30,
40), dan C (50, 0).
Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7 x 0)
+ (5 x 0) = 0.
Keuntungan pada titik A (0; 80) adalah (7 x
0) + (5 x 80) = 400.
Keuntungan pada titik B (30; 40) adalah (7 x
30) + (5 x 40) = 410.
Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (7 x
50) + (5 x 0) = 350.
Karena
keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi
meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh
keuntungan optimal sebesar 410.
b.
Fungsi
Tujuan Minimasi
Minimisasi dapat
berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai pada saat garis
fungsi tujuan menyinggung daerah feasible yang terdekat dengan titik origin.
Contoh :
Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat
dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut
mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan
Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah
vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:
Bagaimana
menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi.
Langkah – langkah:
1.
Tentukan variabel
X1 = Royal Bee
X2 = Royal Jelly
2.
Fungsi tujuan
Zmin = 100X1
+ 80X2
3.
Fungsi kendala
1)
2X1
+ X2 ≥ 8 (vitamin)
2)
2X1
+ 3X2 ≥ 12 (protein)
3)
X1 ≥ 2
(jumlah minimal yang harus di
produksi = 2 unit)
4)
X2 ≥ 1
(jumlah minimal yang harus di
produksi = 1 unit)
1.
Membuat grafik
1)
2X1
+ X2 = 8
X1 = 0, X2 = 8
X2 = 0, X1 = 4
Garis isoquant
titik (4,8)
2)
2X1
+ 3X2 = 12
X1 = 0, X2 = 4
X2 = 0, X1 = 6
Garis isoquant
titik (6,4)
3)
X1
= 2
4)
X2
= 1
Solusi optimal tercapai
pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu persilangan garis kendala
(1) dan (2).
2X1 +
X2 = 8
2X1 +
3X2 = 12
-
-2X2 = -4
X2 = 2
masukkan X2 ke kendala
(1)
2X1 +
X2 = 8
2X1 +
2 = 8
2 X1 = 8 – 2 = 6
X1 = 3
masukkan nilai X1 dan
X2 ke Z
Z min =
100X1 + 80X2
= 100(3) + 80(2)
= 300 + 160
= 460
Kesimpulan :
Untuk meminimumkan biaya
produksi, maka diproduksi Royal Bee (X1 ) = 3 dan Royal Jelly (X2
) = 2, dengan biaya produksi 460
ribu rupiah
1.3.
Rangkuman
Dalam menyelesaikan permasalahan
dengan mempergunakan program linier dapat dilakukan dengan menggunakan salah
satunya adalah dengan metode grafik. Metode grafik hanya digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan sama dengan dua, baik itu
pada permasalahan maksimasi ataupun minimasi.
1.4.
Referensi
1.
Taha, H. A, (1996), Riset Operasi, Suatu Pengantar, Edisi Kelima Jilid 1, Penerbit Binarupa Aksara, Jakarta
2.
Dimyati, T. T., Dimyati, A., (2004), Operations
Research, Model-Model Pengambilan Keputusan. Penerbit Sinar Baru
Algensindo, Bandung
0 comments:
Post a Comment